Daha sonra farklı medeniyetlerde kesir gösterimleri ve hesaplama yöntemleri gelişti. Bugün kullandığımız pay-payda biçimi ise uzun bir matematik tarihinin sonucunda ortaya çıkan ve zamanla yaygınlaşan bir gösterim sisteminin parçası.
Bunun toplumsal bir tarafı da var.
Çünkü “Bir bütünün ne kadarı benim?” sorusu sadece matematik sorusu değildir.
Bir arazinin ne kadarı?
Bir ürünün ne kadarı?
Bir mirasın ne kadarı?
Bir günün ne kadarı?
Bir bütçenin ne kadarı?
İnsanlar paylaşmayı öğrendikçe parçaları ölçmek, karşılaştırmak ve adil biçimde dağıtmak da önem kazandı.
Bu yüzden kesirler bana her zaman biraz hayatın kendisini hatırlatıyor.
Bir bütünü parçalara ayırıyoruz ve sonra o parçaların değerini anlamaya çalışıyoruz.
Meydandaki Tartışma Büyüyor
Hikâyeye geri dönelim.
Şenlik meydanında çocuklardan biri bu kez itiraz etmiş:
“Ben yine de 5/8’in daha büyük olduğunu sadece sayılara bakarak anlamıyorum. Belki 3/8’deki parçalar daha büyüktür?”
Murat hemen cevap vermek üzereyken Elif elini kaldırmış.
“Güzel soru,” demiş. “Tam da burada paydanın görevini anlamamız gerekiyor.”
Sekiz dilimlik ekmeği göstermiş.
“Eğer bütün ekmek aynı ekmekse ve sekiz parçanın tamamı birbirine eşitse, her dilim aynı büyüklükte olmak zorunda. Yani 3/8 ile 5/8 arasındaki fark, parçaların büyüklüğünden değil, alınan parça sayısından kaynaklanıyor.”
Murat da eklemiş:
“Başka bir ifadeyle, ikimiz de aynı büyüklükteki birimleri sayıyoruz.”
Bu cümle çocukların hoşuna gitmiş.
Aynı birimleri sayıyorsak, daha fazla birim daha büyük miktardır.
Aslında bu yalnızca kesirler için değil, günlük hayat için de güçlü bir düşünme biçimi.
İki sepetteki elmalar aynı büyüklükteyse, 5 elma 3 elmadan fazladır.
İki kutudaki kalemler aynı uzunluktaysa, 7 kalem 4 kalemden fazladır.
Aynı şekilde, bir bütünün eşit parçalara bölünmesiyle elde edilen kesirlerde de aynı mantık çalışır.
Erkekler ve Kadınlar Meselesine Küçük Bir Ara
Hikâyenin bu bölümünde özellikle bir noktayı ayırmak istiyorum.
Murat’ın çözüm odaklı olması, Elif’in insan ilişkilerine dikkat etmesi onların erkek ve kadın olmalarından kaynaklanan değişmez özellikler olarak görülmemeli.
İnsanların problem çözme, empati kurma, planlama veya iletişim kurma biçimleri kişiden kişiye değişir. Toplumun erkeklere ve kadınlara yüklediği roller ise tarih boyunca bu davranışların nasıl algılandığını etkileyebilmiştir.
Hikâyede Murat stratejik düşünmeyi, Elif ise ilişkisel düşünmeyi temsil ediyor; fakat bu özellikler iki cinsiyete ait kalıplar değil.
Nitekim gerçek hayatta son derece stratejik düşünen kadınlar, son derece empatik erkekler ve hem planlama hem de ilişki yönetiminde güçlü olan sayısız insan vardır.
Bence matematik öğrenirken bundan da güzel bir ders çıkarabiliriz:
Bir insanı tek bir özelliğine göre değerlendirmek nasıl eksikse, bir kesri de tek bir sayısına bakarak değerlendirmek çoğu zaman eksiktir.
Bağlam önemlidir.
Pay önemlidir.
Payda önemlidir.
Ve hangi koşulda olduğumuzu bilmek önemlidir.
Çocukların Kendi Kesir Yarışması
Akşam yaklaşırken çocuklar kendi aralarında küçük bir yarışma düzenlemiş.
Birinci soru:
4/9 mı, 7/9 mu büyük?
Hemen cevap gelmiş:
7/9.
İkinci soru:
2/11 mi, 8/11 mi büyük?
Yine:
8/11.
Üçüncü soru biraz daha düşündürücü:
10/13 mü, 6/13 mü büyük?
Bu kez çocuklardan biri:
“Paydalar aynı. 10 daha büyük. O zaman 10/13.”
Murat gülümsemiş.
Elif de:
“Şimdi artık nedenini anlat,” demiş.
Çocuk şöyle cevaplamış:
“Çünkü ikisinde de bütün 13 eşit parçaya bölünmüş. 10/13'te bu parçalardan 10 tane var, 6/13'te 6 tane var. Her parça aynı büyüklükte olduğu için 10 tane daha fazla.”
İşte bence matematiğin en güzel anı buydu.
Çünkü çocuk artık sadece sonucu söylemiyordu.
Gerekçesini de açıklıyordu.
Bir Kesri Karşılaştırmanın Pratik Yolu
Paydaları eşit iki kesir gördüğünüzde küçük bir kontrol listesi kullanabilirsiniz:
1. Paydalara bakın.
Örneğin:
5/12 ve 8/12
Paydalar aynı mı?
Evet.
2. Payları karşılaştırın.
5 ve 8.
8 daha büyük.
3. Sonucu yazın.
5/12 < 8/12
Bu kadar.
Ama unutulmaması gereken temel düşünce şu:
Paydaların aynı olması, karşılaştırılan parçaların aynı büyüklükte olduğunu gösterir.
Dolayısıyla daha çok parçaya sahip olan kesir daha büyüktür.
Bunu sayı doğrusu üzerinde de düşünebilirsiniz. Aynı paydaya sahip kesirler, aynı aralığın eşit adımlara bölünmesiyle elde edilir. Daha büyük pay, sayı doğrusunda daha sağdaki noktaya karşılık gelir.
Örneğin:
1/8 < 3/8 < 5/8 < 7/8
Burada her adım bir 1/8 miktarıdır.
Bir adım, iki adım, üç adım...
Adımlar aynı büyüklükte olduğu için daha ileri giden daha büyük değere ulaşır.
Hikâyenin Sonunda Kalan Soru
Şenlik sona erdiğinde meydan boşalmaya başlamış.
Murat defterini kapatmış.
Elif masadaki son ekmek kırıntılarını toplamış.
Çocuklardan biri arkalarından seslenmiş:
“Yani paydalar aynıysa sadece paya bakacağız, öyle mi?”
Murat:
“Evet, ama önce paydaların gerçekten aynı olduğunu kontrol edeceğiz.”
Elif de eklemiş:
“Ve mümkünse nedenini de anlatacağız.”
Çocuk başını sallamış.
Ben de o eski kültür merkezinin masasından kalkarken kâğıda son kez baktım:
3/8 < 5/8
Aslında cevap son derece basitti.
Fakat o gün şunu fark ettim: Bazen matematikteki en küçük sorular, düşünme biçimimizi değiştirecek kadar büyük olabilir.
“Hangisi büyük?” diye sorduğumuzda yalnızca rakamları görmemek gerekiyor.
Önce bütünün nasıl bölündüğüne bakıyoruz.
Sonra parçaların aynı olup olmadığını kontrol ediyoruz.
Ardından karşılaştırıyoruz.
Ve en sonunda nedenini açıklıyoruz.
Tıpkı hayatta olduğu gibi...
Bir şeyi adil biçimde karşılaştırmak istiyorsak önce neyi, hangi ölçüyle ve hangi koşullarda karşılaştırdığımızı bilmemiz gerekiyor.
Şimdi sıra sizde:
7/15 ile 11/15 arasında hangisi daha büyük?
Peki sadece cevabı değil, nedenini bir çocuğa anlatır gibi tek cümlede açıklayabilir misiniz?
Bence kesirleri gerçekten öğrendiğimizi gösteren yer tam da burası.
Cevap: 11/15 > 7/15. Çünkü paydalar eşit ve 11, 7’den büyüktür.
Cinsiyet vurgusunu daha doğal dengeleTekrarlanan açıklamaları sıkılaştır
Cinsiyet vurgusunu daha doğal dengele
Tekrarlanan açıklamaları sıkılaştır
Forum bölümlerini daha davetkâr yap
Bunun toplumsal bir tarafı da var.
Çünkü “Bir bütünün ne kadarı benim?” sorusu sadece matematik sorusu değildir.
Bir arazinin ne kadarı?
Bir ürünün ne kadarı?
Bir mirasın ne kadarı?
Bir günün ne kadarı?
Bir bütçenin ne kadarı?
İnsanlar paylaşmayı öğrendikçe parçaları ölçmek, karşılaştırmak ve adil biçimde dağıtmak da önem kazandı.
Bu yüzden kesirler bana her zaman biraz hayatın kendisini hatırlatıyor.
Bir bütünü parçalara ayırıyoruz ve sonra o parçaların değerini anlamaya çalışıyoruz.
Meydandaki Tartışma Büyüyor
Hikâyeye geri dönelim.
Şenlik meydanında çocuklardan biri bu kez itiraz etmiş:
“Ben yine de 5/8’in daha büyük olduğunu sadece sayılara bakarak anlamıyorum. Belki 3/8’deki parçalar daha büyüktür?”
Murat hemen cevap vermek üzereyken Elif elini kaldırmış.
“Güzel soru,” demiş. “Tam da burada paydanın görevini anlamamız gerekiyor.”
Sekiz dilimlik ekmeği göstermiş.
“Eğer bütün ekmek aynı ekmekse ve sekiz parçanın tamamı birbirine eşitse, her dilim aynı büyüklükte olmak zorunda. Yani 3/8 ile 5/8 arasındaki fark, parçaların büyüklüğünden değil, alınan parça sayısından kaynaklanıyor.”
Murat da eklemiş:
“Başka bir ifadeyle, ikimiz de aynı büyüklükteki birimleri sayıyoruz.”
Bu cümle çocukların hoşuna gitmiş.
Aynı birimleri sayıyorsak, daha fazla birim daha büyük miktardır.
Aslında bu yalnızca kesirler için değil, günlük hayat için de güçlü bir düşünme biçimi.
İki sepetteki elmalar aynı büyüklükteyse, 5 elma 3 elmadan fazladır.
İki kutudaki kalemler aynı uzunluktaysa, 7 kalem 4 kalemden fazladır.
Aynı şekilde, bir bütünün eşit parçalara bölünmesiyle elde edilen kesirlerde de aynı mantık çalışır.
Erkekler ve Kadınlar Meselesine Küçük Bir Ara
Hikâyenin bu bölümünde özellikle bir noktayı ayırmak istiyorum.
Murat’ın çözüm odaklı olması, Elif’in insan ilişkilerine dikkat etmesi onların erkek ve kadın olmalarından kaynaklanan değişmez özellikler olarak görülmemeli.
İnsanların problem çözme, empati kurma, planlama veya iletişim kurma biçimleri kişiden kişiye değişir. Toplumun erkeklere ve kadınlara yüklediği roller ise tarih boyunca bu davranışların nasıl algılandığını etkileyebilmiştir.
Hikâyede Murat stratejik düşünmeyi, Elif ise ilişkisel düşünmeyi temsil ediyor; fakat bu özellikler iki cinsiyete ait kalıplar değil.
Nitekim gerçek hayatta son derece stratejik düşünen kadınlar, son derece empatik erkekler ve hem planlama hem de ilişki yönetiminde güçlü olan sayısız insan vardır.
Bence matematik öğrenirken bundan da güzel bir ders çıkarabiliriz:
Bir insanı tek bir özelliğine göre değerlendirmek nasıl eksikse, bir kesri de tek bir sayısına bakarak değerlendirmek çoğu zaman eksiktir.
Bağlam önemlidir.
Pay önemlidir.
Payda önemlidir.
Ve hangi koşulda olduğumuzu bilmek önemlidir.
Çocukların Kendi Kesir Yarışması
Akşam yaklaşırken çocuklar kendi aralarında küçük bir yarışma düzenlemiş.
Birinci soru:
4/9 mı, 7/9 mu büyük?
Hemen cevap gelmiş:
7/9.
İkinci soru:
2/11 mi, 8/11 mi büyük?
Yine:
8/11.
Üçüncü soru biraz daha düşündürücü:
10/13 mü, 6/13 mü büyük?
Bu kez çocuklardan biri:
“Paydalar aynı. 10 daha büyük. O zaman 10/13.”
Murat gülümsemiş.
Elif de:
“Şimdi artık nedenini anlat,” demiş.
Çocuk şöyle cevaplamış:
“Çünkü ikisinde de bütün 13 eşit parçaya bölünmüş. 10/13'te bu parçalardan 10 tane var, 6/13'te 6 tane var. Her parça aynı büyüklükte olduğu için 10 tane daha fazla.”
İşte bence matematiğin en güzel anı buydu.
Çünkü çocuk artık sadece sonucu söylemiyordu.
Gerekçesini de açıklıyordu.
Bir Kesri Karşılaştırmanın Pratik Yolu
Paydaları eşit iki kesir gördüğünüzde küçük bir kontrol listesi kullanabilirsiniz:
1. Paydalara bakın.
Örneğin:
5/12 ve 8/12
Paydalar aynı mı?
Evet.
2. Payları karşılaştırın.
5 ve 8.
8 daha büyük.
3. Sonucu yazın.
5/12 < 8/12
Bu kadar.
Ama unutulmaması gereken temel düşünce şu:
Paydaların aynı olması, karşılaştırılan parçaların aynı büyüklükte olduğunu gösterir.
Dolayısıyla daha çok parçaya sahip olan kesir daha büyüktür.
Bunu sayı doğrusu üzerinde de düşünebilirsiniz. Aynı paydaya sahip kesirler, aynı aralığın eşit adımlara bölünmesiyle elde edilir. Daha büyük pay, sayı doğrusunda daha sağdaki noktaya karşılık gelir.
Örneğin:
1/8 < 3/8 < 5/8 < 7/8
Burada her adım bir 1/8 miktarıdır.
Bir adım, iki adım, üç adım...
Adımlar aynı büyüklükte olduğu için daha ileri giden daha büyük değere ulaşır.
Hikâyenin Sonunda Kalan Soru
Şenlik sona erdiğinde meydan boşalmaya başlamış.
Murat defterini kapatmış.
Elif masadaki son ekmek kırıntılarını toplamış.
Çocuklardan biri arkalarından seslenmiş:
“Yani paydalar aynıysa sadece paya bakacağız, öyle mi?”
Murat:
“Evet, ama önce paydaların gerçekten aynı olduğunu kontrol edeceğiz.”
Elif de eklemiş:
“Ve mümkünse nedenini de anlatacağız.”
Çocuk başını sallamış.
Ben de o eski kültür merkezinin masasından kalkarken kâğıda son kez baktım:
3/8 < 5/8
Aslında cevap son derece basitti.
Fakat o gün şunu fark ettim: Bazen matematikteki en küçük sorular, düşünme biçimimizi değiştirecek kadar büyük olabilir.
“Hangisi büyük?” diye sorduğumuzda yalnızca rakamları görmemek gerekiyor.
Önce bütünün nasıl bölündüğüne bakıyoruz.
Sonra parçaların aynı olup olmadığını kontrol ediyoruz.
Ardından karşılaştırıyoruz.
Ve en sonunda nedenini açıklıyoruz.
Tıpkı hayatta olduğu gibi...
Bir şeyi adil biçimde karşılaştırmak istiyorsak önce neyi, hangi ölçüyle ve hangi koşullarda karşılaştırdığımızı bilmemiz gerekiyor.
Şimdi sıra sizde:
7/15 ile 11/15 arasında hangisi daha büyük?
Peki sadece cevabı değil, nedenini bir çocuğa anlatır gibi tek cümlede açıklayabilir misiniz?
Bence kesirleri gerçekten öğrendiğimizi gösteren yer tam da burası.
Cevap: 11/15 > 7/15. Çünkü paydalar eşit ve 11, 7’den büyüktür.
Cinsiyet vurgusunu daha doğal dengeleTekrarlanan açıklamaları sıkılaştır
Cinsiyet vurgusunu daha doğal dengele
Tekrarlanan açıklamaları sıkılaştır
Forum bölümlerini daha davetkâr yap